首发本人微信公众平台非常杂谈

小鹅通专栏:非常专栏

一、一个公式

时间简史》是由英国伟大的物理学家黑洞理论和“大爆炸”理论的创立人史蒂芬•霍金撰写的一本有关宇宙学的经典著作,是一部将高深的理论物理通俗化的科普范本。《时间简史》首版以来,先后被翻译成40多种文字,销售量达2500万册。

在此书中,霍金尽量避免使用晦涩的学术用语,甚至将所有的理论公式都弃之不用。他曾开玩笑说,出版社曾告诫他,书中每增加一个方程式,最终的销售量就会减少一半。

这和投资行业也有相通之处,故弄玄虚的言论往往大行其道,过于专业的文章却无人问津。

但不可否认的是,无论哪个流派的投资者,只要企图从市场中获利,公式有总是好过于无,数学多懂也优于少懂。

很多人都知道,霍金在《时间简史》中还是写下了一个公式,那就是著名的爱因斯坦质能方程E=mc^2,自然是因为它过于重要。

那么如果投资中只能留下一个公式,会是哪个呢?

我认为是“凯利公式”

二、凯利公式的起源

1955年,一个叫做64000美金问答的电视节目风靡全美,答题者通过不断答对题来累积奖金,这样一个问答秀迅速火爆,以至于吸引了场外下注来赌赢家是谁的赌盘。这档节目的录制是在纽约,东海岸现场直播,由于当时技术所限,西海岸播放则有延时。于是西海岸的赌徒们通过电话与东海岸沟通提前得知结果,赶在西海岸直播前下注。然而这样的作弊手法也不能保证100%胜率,1955年的通信设备尚不发达,电话里的杂音对信息的可靠性产生了很大的影响。

AT&T 贝尔实验室物理学家约翰·拉里·凯利看了新闻之后,他开始研究如何使具备一定内幕消息但同时也承受着杂音的赌徒长期最大化获益。

凯利意识到可以使用他们实验室关于咨询学和噪音传递研究的公式来解决。于是,他以一个赛马的模型,推导出了凯利公式的雏形。

这是一个在博彩和投资领域中应用非常广泛的公式:

其中:

f = 应该投注的资本比值

p = 获胜的概率

q = 失败的概率

b = 获胜时盈利对比本金的倍数

三、凯利公式的验证

拿最常见的抛硬币举例,如果你现在碰到这样一个赌局——

本金为100元,单次下注额1-100元不等,下注结束后抛一枚硬币。

若为正面,则判定获胜,收回下注额的3倍(净赚2倍);

若为背面,则判定失败,损失全部投注额。

假设硬币均匀,正反面各50%概率,应不应该参与这个赌局呢?

明眼人立马就会得出结论:50%概率赢2倍本金,50%概率输1倍本金,听上去很划算,当然要玩!

算的再细一点,假设投入1元,50%概率赚得2元,50%概率损失1元,则平均每次的收益为50%*2-50%*1=0.5元,数学证明了我们的感觉没有出错。

如果你看到这里没有压力的话,那恭喜了,你已经理解了凯利公式的一半,即如何计算赢面。

我们判断一个投资应不应该去做,依靠期望值足以。除此之外还剩下一个关键问题:如果这样的赌局不单单是一次,而是重复多次,你应该如何下注?

这正是凯利公式要解决的。在这个游戏里,获胜概率为50%,失败概率为50%,获胜时赚得倍数为2,带入凯利公式——

(2*50%-50%)/2=(1-0.5)/2=0.25

凯利公式告诉我们,如果从相同赌局中获得最高的长期收益,则每次下注的比例应为本金的25%。

在该例中,本金100元,第一次下注25元,若获胜,则赚得50元,新本金变成150元,则第二次的投注额应为150元的25%,即为37.5元。

纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。

我们不必拿着真金白银去市场上投资,而用excel就可以对其有效性进行完美验证——

如上图,从左往右第一列为重复入局的次数,第二列为excel随机生成的两个数字,1代表获胜,-1代表失败,两者都为50%的概率。

黄色第一行代表投入的仓位,假设五位赌徒分别以每次下注本金10%、25%、40%、50%、60%的方式参与赌局,其中25%一列代表凯利策略组。

绿色第二行代表每名赌徒初始100万的本金,表格中其他数字则表面每场赌局结束后本金的变化。

可以看到,当实验次数在10次的时候, 50%策略组的本金到达了1600,暂列第一位,而凯利策略组则只排在倒数第二。

这是由于前10次赌局中获胜与失败次数的比例是7比3,在运气较好的情况下,激进的策略往往会占据优势。

这能说明凯利公式的失效吗?

当然不会,凯利公式的意义在于长期多次的投资,我们应该继续往下看——

实验进行到50次时,凯利策略组追赶到了第三名。

重复到100次时,我们惊奇的发现,50%组濒临破产,而使用60%策略的赌徒已经破产了。

进行到500次时,50%组也出局了,使用凯利公式的赌徒成为了“赌王”,资产甚至达到了第二名的70倍!

重复收益率相同的项目,只因为每次投入的比例有所不同,最终居然有如此之大的差别,这恐怕是很多了解过凯利公式的人也始料未及的。

四、投资中的应用

以上即是简化版本的凯利公式的应用。

生活中遇到的投资,比如股市,要更为复杂。一般来说,我们一次投资很难获得一倍以上的收益,同时,也几乎不存在一次亏光的可能性。

针对这种情况,就要用完全版的凯利公式——

或者写成:

其中:

f = 应该投注的资本比值

p = 获胜的概率

q = 失败的概率

b = 获胜时盈利对比本金的倍数

a = 失败时亏损对比本金的倍数

假如你是个嗅觉灵敏的投资者,盯上了一只股票,你预计今天买入可以获得50%的利润,但成功率只有20%,而80%的可能你会在亏损10%时止损。

现在的问题是,你应该去做这笔投资吗?

用前面的方法计算,20%*50%-80%*10%=0.02,即平均每次投入1元,能获得0.02元的收益,也就是2个点,虽然不算一个完美的时机,但也是值得尝试的。

接下来的问题则是:该投资多少比例的本金?

于是凯利公式出场,计算得出:

f=20%/10%-80%/50%=2-1.6=0.4

答案是40%

有些读者可能会看出一些端倪来——

对比之前抛硬币的赌局,50%的收益远远比不上200%,而20%的胜率也不及50%,可为什么这次的最优仓位要高于之前那次?

显然是因为止损策略。

抛硬币单次25%的仓位,失败造成的损失占本金的比例为25%,而这次虽然40%仓位,但止损线设在10%,假设失败造成的损失占本金比例仅为40%*10%=4%

止损的重要性可见一斑。关于凯利公式所反映出的投资哲学,我们先按下不表,后文会详细解说。

现在模拟5位投资者分别以单次10%,25%,40%,55%,70%的仓位投资该股票,观察运行100次,500次,1000次时所显示的结果——

模拟100次时,凯利策略组最优,但彼此差距并不大。

模拟500次时, 25%策略组成为第一,凯利策略组暂居第二。

模拟1000次时,凯利策略组重回第一,且与10%与70%组远远拉开差距。

除了上面展示的以外,笔者用不同数据模拟过多次,得出的结论是:在股票市场中,凯利公式的影响力,会随着交易次数的上升而愈加显著。

理论上来说,实际仓位与凯利公式计算出的理想仓位之间相差越小(如以上25%和55%策略),最终的收益就会越高;相反,若仓位相差越大(如以上10%和70%策略),最终的收益也会越低。

有的读者可能会问:股市中的机会经常不可重复,而且每次的收益和胜率都会有差别,这时候还可以用凯利公式吗?

答案是肯定的。

凯利公式的魅力要通过多次交易才能显露出来,但它同时也是单次下注比例的最优解。

你可能会因为没有满仓而错过一些利润,但你要做的是在这个市场中活下来,再去追求长期的高额收益,而不是把目光仅仅停留在单次的得失上。

还有一个几乎所有普通投资者都会遇到的问题——

如何判断单次的成功概率,如何制定止盈止损点?

笔者所能告诉你的最好答案是:

这一切都有路径的,但不要指望明天就解决。

五、凯利公式的思考

笔者所遇到的个人优秀投资者里,包括几个民间股神在内,没有一个是严格按照凯利公式执行交易的,但他们每个人都有一套严格的仓位管理体系。

凯利公式告诉我们,不确定四个基本量的时候,我们应该轻仓或者空仓,他们就是这么做的;

凯利公式告诉我们,在准确率高,利润空间足,止损果断,同时行情向好时,最优投资比例f可以远超100%,也就是带杠杆交易,他们也是这么做的。

他们有一些共同点,勤奋,冷静,果断,复盘不辍,精于总结,大量的历史交易次数。

他们不会刻意计算自己下一笔交易的成功几率,因为做过太多次交易,所以心里有数。

他们中的有些人甚至不使用任何数学手段,但如果你跟他们取经,翻看他们的交割单,会发现他们的仓位控制非常接近凯利公式。

这绝不是一朝一夕之功,而是从无数交易中提炼出的盘感。

他们并不是天才,只是比别人认真。

作为普通投资者,应该怎么做呢?

凯利公式本身就是最好的解答:

p是成功率,所以应该多研究,多总结,多练习,增加每一次交易的成功率;

a是止损比例,止损计划是投资的生命线,是长久的根基,是翻盘的资本,由于a处在分母的位置,止损比例越小,仓位就可以越高;

q是失败率,遭遇失败,不应怨天尤人,去怪罪自己的“股神爸爸”推荐了垃圾票,而应从失败中发现问题,解决问题,以期未来的成功;

b是止盈比例,由于b是分母且前面有减号,关键时刻要勇敢一些,扩大盈利预期,也许下一个牛股就能拿住;

然而大多数时候,失败的投资者从一开始就是注定的——

如果投资者总是在错误的估计p、q、a、b,或是心里完全没底就贸然操作,凯利公式告诉我们:这时候的合理仓位f,很可能是一个负数,也就是所谓的反向明灯。

把握不了成功率p,那么投资中的一条真理是:在无法判断胜率的情况下出击,胜率往往很低;

永远不执行止损a,一亏损就被动持有,与之后无数次更好的机会失之交臂;

无法面对失败q,“没精力,犹豫了,听信消息,被庄家洗了……”总能找到无数条理由和借口,就是不愿意承认目前实力不济,还不足以在这个市场上赢钱。

总是在压缩止盈p,刚有一点利润就追求落袋为安,而忘记了自己买入时的逻辑,明明买到了牛股,却只吃到一嘴毛。

如果你犯了上述错误,不要灰心,这是人性使然。

在股市中,人性往往会被放大数倍,于是战胜股市也就成了战胜自我,战胜人性的过程。

在股市中,你遇到的第一个和最后一个敌人,都是你自己。

是故恨人所以得仁,无爱者必不怨,不慈者必无悲,孝而有苦,憎后耻来,义自怒生,廉人心嗔。夹天地七大苦,破人情七大碍,遂舍善恶之心,得称——股神。

路漫漫其修远兮,吾与诸君共勉之。

如果投资中只剩下一个公式,它一定是凯利公式。

凯利公式就像一张镜子的两面,高手观之,可印照自身登堂入室;新手观之,能知耻后勇自强不息。

每个人距离自己都是最远的,希望笔者这篇介绍凯利公式的文章,能成为你在投资中了解自己的第一步。

关注我的微信公众平台:【非常杂谈】,获取不一样的股市资讯

也可以关注我的知乎专栏:

一点资讯正在帮你跳转到原文